MarkdownLog/图形学/读TinyRenderer

TinyRenderer

参考项目 tinyrenderer

光栅化

求重心

重心坐标 (α, β, γ) 表示点 P 可以表示为三角形三个顶点A、B、C的加权和：P = αA + βB + γC，其中 α + β + γ = 1

如果点P在三角形内部，则满足：0 ≤ α, β, γ ≤ 1

通过重心坐标，即可知道某个点是否在三角形内部

α·A_x + β·B_x + γ·C_x = P_x
α·A_y + β·B_y + γ·C_y = P_y
α + β + γ = 1

对应的矩阵表现形式是

| A_x  B_x  C_x |   | α |   | P_x |
| A_y  B_y  C_y | × | β | = | P_y |
|  1    1    1  |   | γ |   |  1  |

设矩阵 M 为

    | A_x  B_x  C_x |
M = | A_y  B_y  C_y |
    |  1    1    1  |

需要求解的是向量 [α, β, γ]ᵀ ，使得： M × [α, β, γ]ᵀ = [P_x, P_y, 1]ᵀ

解为：[α, β, γ]ᵀ = M⁻¹ × [P_x, P_y, 1]ᵀ

vec3 barycentric(const vec2 tri[3], const vec2 P) {
    mat<3,3> ABC = {{ {tri[0].x, tri[0].y, 1.}, {tri[1].x, tri[1].y, 1.}, {tri[2].x, tri[2].y, 1.} }};
    if (ABC.det()<1) return {-1,1,1}; 
    return ABC.invert_transpose() * vec3{P.x, P.y, 1.};
}

透视矫正

参考文章	链接
透视矫正插值	https://zhuanlan.zhihu.com/p/403259571
Perspective Correct Interpolation	https://www.cs.ucr.edu/~craigs/courses/2018-fall-cs-130/lectures/perspective-correct-interpolation.pdf

贴图	渲染效果

示意图

由于透视的问题，明明 Q 点是 AC 中点；但是由于透视的存在，看起来 P 点才像是 AC 中点

在坐标点通过 MVP 矩阵变化到屏幕空间中，会将 P 点的 UV 坐标设置为 (1/2, 1/2)，最终导致显示问题

可以通过 顶点的世界坐标 和 目标点的屏幕坐标，计算得到目标点对应平面上的 世界坐标 三角形 ABC 中的某个点 P 在透视分割后会变换为点 P'

$$ p = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} p' = \frac{1}{z * r + 1} * \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} $$

r 是一个固定参数，决定 w 对 z 的依赖程度，本质上与相机的几何参数（焦距/投影平面位置）有关

点 P' 相对于三角形 A'B'C' 的重心坐标

$$ P' = \left [ A' B' C' \right ] * \begin{bmatrix} \alpha' \ \beta' \ \gamma' \end{bmatrix} $$

已知屏幕空间坐标 A'B'C' 和 P' 相对于 A'B'C' 的重心坐标，接下来需要找到 P 相对于原始三角形 ABC 的重心坐标

$$ P = \left [ A B C \right ] * \begin{bmatrix} \alpha \ \beta \ \gamma \end{bmatrix} $$

推理 P' 的表达方式

$$ P' = \left [ A' B' C' \right ] * \begin{bmatrix} \alpha' \ \beta' \ \gamma' \end{bmatrix} = P * \frac{1}{r P.z + 1} = \left [ A * \frac{1}{r A.z + 1} B* \frac{1}{r B.z + 1} C* \frac{1}{r C.z + 1} \right ] * \begin{bmatrix} \alpha' \ \beta' \ \gamma' \end{bmatrix} $$

根据

$$ P * \frac{1}{r P.z + 1} = \left [ A * \frac{1}{r A.z + 1} B* \frac{1}{r B.z + 1} C* \frac{1}{r C.z + 1} \right ] * \begin{bmatrix} \alpha' \ \beta' \ \gamma' \end{bmatrix} $$

两边乘以 rP.z + 1

$$ P = \left [ A B C \right ] * \begin{bmatrix} \alpha' / (r A.z + 1) \ \beta' / (r B.z + 1) \ \gamma' / (r C.z + 1) \end{bmatrix} * (r P.z + 1) $$