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@@ -30,15 +30,24 @@ https://latex.codecogs.com/svg.latex?\vec{A}=(^{x}_{y})\\\vec{A}^T=(x,y)\\\lVert
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### 点乘
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$$
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-\vec{A} = (^{x} _{y}) \\
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-\vec{A}^T = (x, y) \\
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-\lVert \vec{A} = \sqrt{x ^2 + y^2} \rVert \\
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+\vec{A} = (^{x} _{y})
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+$$
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+
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+$$
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+\vec{A}^T = (x, y)
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+$$
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+
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+$$
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+\lVert \vec{A} = \sqrt{x ^2 + y^2} \rVert
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$$
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向量之间的点乘
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$$
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-\vec{A} \cdot \vec{B} = \lVert \vec{A} \rVert * \lVert \vec{B} \rVert * \cos \theta \\
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+\vec{A} \cdot \vec{B} = \lVert \vec{A} \rVert * \lVert \vec{B} \rVert * \cos \theta
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+$$
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+
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+$$
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\cos \Theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert * \lVert \vec{B} \rVert}
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$$
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@@ -2173,7 +2182,7 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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### 加速计算光线与物体表面的求交 (Accelerating Ray-Surface Intersection)
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-计算光照最暴力的做法，每个像素打出的光线都要与所有的物体，所有的三角形计算交点，并且光线每经过一次 反射/折射 都要计算新的光线与每个物体的三角形的交点
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+计算光照最暴力的做法，每个像素打出的光线都要与**所有的物体**，**所有的三角面**计算交点，并且光线每经过一次 反射/折射 都要计算新的光线与每个物体的三角形的交点
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如果真的是上面这种暴力做法，计算效率就特别低
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@@ -2219,4 +2228,76 @@ $t_{quit} = max(t_{x_{max}}, t_{y_{max}}, t_{z_{max}})$
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- $t_{enter}$ 小于0， ${t_{quit}}$ 大于0，则表示 光源 在碰撞盒 内部
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- 如果 $t_{enter}$ 小于 ${t_{quit}}$，并且 $t_{quit}$ 大于 0， 则表示 光线 与 碰撞盒 相交
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+#### AABB帮助加速求交计算
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+1. 找到包围盒
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+> 假设上图外框一个包围盒包住了5个圆
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+2. 对包围盒 划分网格 并 标记与物体相交的网格 (预处理)
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+
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+> 上图右上角还有一个网格没有标记出来
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+3. 光线追踪
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+这里将光线与网格的碰撞分成了三种情况
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+
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+- 网格1： 与光线相交，但是网格内并没有物体，所以无需处理
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+- 网格2： 与光线相交，并且网格内存在物体，需要计算一次光线与物体相交的判断，计算后发现光线与物体不相交，无需处理
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+- 网格3： 与光线相交，并且网格内存在物体，需要计算一次光线与物体相交的判断，计算后发现光线与物体相交，需要计算颜色
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+
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+光线与网格相交的计算很快，与物体相交的计算很慢
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+
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+至于与哪些网格相交，举个例子就是这里的**光线的方向是右上方**，那么下一个与光线相交的格子要么是**当前格子的右边**，要么是**当前格子的上面**
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+
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+通过上述方法可以加速计算光线与物体相交的计算，但是存在一个问题，对包围盒进行网格划分的**密度应该如何设置？**
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+这里存在两个极端情况
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+
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+1. 不做任何划分 -> 没有任何效果
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+2. 划分的很密集 -> 与网格相交的计算量与直接计算所有物体相交的计算量相近
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+经过测试 网格数量 = 物体数量 * 27 是一个比较好的效果，常数27
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+使用网格划分对于物体比较均匀划分的场景应用比较合适，但是对于中空比较多的场景就不太合适，比如篮球场，大部分都是空的，这样空白网格过多也会造成许多无效计算
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+#### 空间划分
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+针对上面物体分布不均匀的状况，可以把空的地方不划分，物体多的地方多划分
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+- Oct-Tree 八叉树 （三维空间 一个立方体切成8块， 二维空间 一个正方形分成4份）
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+- KD-Tree
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+- BSP-Tree
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+对于上述的树形结构，一般物体的信息存储在**叶子节点**中，**非叶子节点**存储网格对应的坐标、大小等信息
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+
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+> 上述左图为空间划分，右图为树形结构
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+1. 一根光线发出
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+2. A区域对应的叶子节点中存储了A区域的坐标和大小，判定光线穿过了A区域
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+3. A节点下的左节点1 判断是否与光线相交，发现相交，与1区域所有物体求交
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+4. A节点下的右节点B 判断是否与光线相交，发现相交，由于B节点非叶子节点，继续判断B节点下的左右叶子节点
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+5. B节点下的左节点2 判断是否与光线相交，发现相交，与2区域所有物体求交
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+6. B节点下的右节点C 判断是否与光线相交，发现相交，由于C节点非叶子节点，继续判断C节点下的左右叶子节点
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+7. C节点下的左节点D 判断是否与光线相交，发现相交，由于D节点非叶子节点，继续判断D节点下的左右叶子节点
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+8. D节点下的左节点4 判断是否与光线相交，发现相交，与4区域所有物体求交
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+9. D节点下的右节点5 判断是否与光线相交 发现不相交 不做处理 跳过
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+10. C节点下的右节点3 判断是否与光线相交 发现相交，与3区域所有物体求交
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+11. 结束
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+
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+按照上图，虽然成功进行了空间划分，但是也暴露的一些问题
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+1. 有些物体横框了多个包围盒，也就是说每个包围盒叶子节点都要存一份该物体，但其实最好一个物体就存在一个叶子节点中
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+2. 如何计算物体与包围盒相交，这个计算其实比较复杂
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# 动画模拟、仿真
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