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@@ -67,8 +67,8 @@ $$
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- 向量点乘的作用(单位向量)
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- 通过点乘的运算，可以找到两个方向之间的余弦夹角
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- 找到一个向量投影到另一个向量中，也会用到点乘运算
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- - 判断两个向量是否接近，通过值的大小比较即可（cos在0~$\pi$单调递减）
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- - 关于是否同方向的信息（$\cos \theta$小于$90°$大于0，否则小于0）
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+ - 判断两个向量是否接近，通过值的大小比较即可（cos在0~ $\pi$ 单调递减）
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+ - 关于是否同方向的信息（ $\cos \theta$ 小于 $90°$ 大于0，否则小于0）
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### 叉乘
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@@ -81,7 +81,7 @@ $$
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\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert = \lVert \vec{a} \rVert * \lVert \vec{b} \rVert * \sin{\Theta}
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$$
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-叉乘的运算需要用到右手螺旋法则， $\vec{a} \times \vec{b}$ 就是四指从 $\vec{a}$到$\vec{b}$ ，那么大拇指的指向就是 $\vec{c}$ 所在的方向
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+叉乘的运算需要用到右手螺旋法则， $\vec{a} \times \vec{b}$ 就是四指从 $\vec{a}$ 到 $\vec{b}$ ，那么大拇指的指向就是 $\vec{c}$ 所在的方向
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叉乘的一些数学运算规律
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@@ -241,7 +241,7 @@ $$
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矩阵的逆：矩阵A乘矩阵B得到单位矩阵，则成B是A的逆，写作 $A^{-1}$
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-$AA^{-1} = I$、$(AB)^{-1} = B^{-1} * A^{-1}$
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+$AA^{-1} = I$ 、$ (AB)^{-1} = B^{-1} * A^{-1}$
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向量的点乘转成矩阵运算
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@@ -252,7 +252,7 @@ $$
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\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}
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x_b \\ y_b \\ z_b
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-\end{bmatrix}= \left( x_a*x_b + y_a*y_b + z_a*z_b \right)
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+\end{bmatrix}= \left ( x_a*x_b + y_a*y_b + z_a*z_b \right )
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$$
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向量的叉乘转成矩阵运算
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@@ -407,10 +407,12 @@ $$
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通过齐次坐标矩阵就可以使用一个矩阵来表示线性变换，**为了保证变换矩阵的一致性**，所以上面讲的**所有矩阵都需要转换成齐次矩阵**
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-在其次坐标中，点使用 $\begin{pmatrix}
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+在其次坐标中，点使用
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+$\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ 1
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\end{pmatrix}$
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-来表示，向量使用 $\begin{pmatrix}
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+来表示，向量使用
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+$\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ 0
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\end{pmatrix}$
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来表示
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@@ -517,7 +519,11 @@ T_{(1， 0)} \cdot R_{45} \cdot \begin{bmatrix}
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\end{bmatrix}
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$$
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-前面提过向量一般放在矩阵乘法的最右边，并且根据矩阵具有结合律，上述式子可以理解为先计算 $R_{45}$ 与 $\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$ ，再计算与 $T_{(1, 0)}$ 的乘法
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+前面提过向量一般放在矩阵乘法的最右边，并且根据矩阵具有结合律，上述式子可以理解为先计算 $R_{45}$ 与
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+$
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+\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}
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+$
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+，再计算与 $T_{(1, 0)}$ 的乘法
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但是，根据矩阵的结合律，我们可以先把前面的矩阵的计算结果得出最终变换矩阵，最后与向量相乘
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@@ -541,14 +547,18 @@ $$
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三维与二维无非就是多了一个维度，其他的变换相似，原理相同
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point:
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+
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$\begin{pmatrix}
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x & y & z & 1
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-\end{pmatrix}^T$
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+\end{pmatrix}^T
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+$
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vector:
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+
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$\begin{pmatrix}
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x & y & z & 0
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-\end{pmatrix}^T$
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+\end{pmatrix}^T
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+$
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$$
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\begin{pmatrix}
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@@ -2074,7 +2084,7 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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数学中的光线就是一个射线，有一个起点，有一个方向
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-假设起点坐标为 `o`, 方向向量为 `d`, 得到光线任一点的表达式 $ r(t) = o + t*d$ 其中 t 是 0 到 正无穷、
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+假设起点坐标为 `o`, 方向向量为 `d`, 得到光线任一点的表达式 $r(t) = o + t*d$ 其中 t 是 0 到 正无穷、
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对于 **隐式表面**
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