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@@ -50,8 +50,8 @@ $$
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点乘的运算
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-- 2D： $\vec{a} \cdot \vec{b} = (^{x_a} _{y_a}) \cdot (^{x_b} _{y_b}) = x_a*x_b + y_a*y_b $
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-- 3D： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a \\ z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ y_c \end{pmatrix} = x_a * x_b + y_a * y_b + z_a * z_b $
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+- 2D： $\vec{a} \cdot \vec{b} = (^{x_a} _{y_a}) \cdot (^{x_b} _{y_b}) = x_a*x_b + y_a*y_b $
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+- 3D： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a \\ z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ y_c \end{pmatrix} = x_a * x_b + y_a * y_b + z_a * z_b $
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@@ -241,7 +241,7 @@ $$
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\end{bmatrix}
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$$
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-> $A^* $是 $\vec{a} $的dual matrix
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+> $A^* $是 $\vec{a} $的dual matrix
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## 变换
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@@ -337,8 +337,8 @@ $$
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-- $x' = x + t_x $
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-- $y' = y + t_y $
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+- $x' = x + t_x $
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+- $y' = y + t_y $
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$$
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\begin{bmatrix}
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@@ -512,10 +512,10 @@ $$
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三维与二维无非就是多了一个维度，其他的变换相似，原理相同
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-point : $\begin{pmatrix}
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+point : $\begin{pmatrix}
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x & y & z & 1
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\end{pmatrix}^T $
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-vector : $\begin{pmatrix}
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+vector : $\begin{pmatrix}
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x & y & z & 0
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\end{pmatrix}^T $
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@@ -706,7 +706,7 @@ $$
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> 因为相机朝向是-Z轴，所以f值一般小于r值
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-在定义完一个矩形之后，需要将其通过一系列变换转换成图片中最右边的标准立方体(canonical cub $[-1 ,1]^3 $)
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+在定义完一个矩形之后，需要将其通过一系列变换转换成图片中最右边的标准立方体(canonical cub $[-1 ,1]^3 $)
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- 一系列变换指的是
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- 矩形移动到原点
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@@ -739,7 +739,7 @@ $$
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-前置知识：点(x, y, z, 1)乘以k，得到(kx, ky, kz, k != 0)表示其实也是点(x, y, z, 1)，将k换成z，可以得到(xz, yz, $z^2 $,z != 0)，也表示(x, y, z, 1)这个点
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+前置知识：点(x, y, z, 1)乘以k，得到(kx, ky, kz, k != 0)表示其实也是点(x, y, z, 1)，将k换成z，可以得到(xz, yz, $z^2 $,z != 0)，也表示(x, y, z, 1)这个点
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> (1, 0, 0, 1)与(2, 0, 0, 2)表示同一个点
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@@ -962,7 +962,7 @@ $$
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**傅里叶变换**：给定任意函数可以通过一系列变换变成另一个函数，还可以把变换后的函数通过逆变换再变回去
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-- 傅里叶变换： $F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iwx}dx $
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+- 傅里叶变换： $F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iwx}dx $
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- 逆傅里叶变换： $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{2\pi iwx}dw $
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@@ -1049,11 +1049,11 @@ $$
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-- 图(a) : $X_a(t) $为原函数图像
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-- 图(c) : $P_\delta(t) $为冲击函数
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-- 图(e) : $S(t) $为原函数与冲击函数乘积的结果，就是 $X_a(t) $函数上离散的点
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-- 图(b) : $X_a(t) $函数傅里叶变换之后的函数
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-- 图(d) : $P_\delta(t) $冲击函数傅里叶变换之后的新的冲击函数
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+- 图(a) : $X_a(t) $为原函数图像
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+- 图(c) : $P_\delta(t) $为冲击函数
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+- 图(e) : $S(t) $为原函数与冲击函数乘积的结果，就是 $X_a(t) $函数上离散的点
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+- 图(b) : $X_a(t) $函数傅里叶变换之后的函数
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+- 图(d) : $P_\delta(t) $冲击函数傅里叶变换之后的新的冲击函数
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- 图(f) : 图(b)与图(d)的卷积的结果
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图(c)的冲击函数，就是只有在竖线上才有值，也就是说图(a)与图(c)的乘积就是在图(a)上周期行的取一些点，就跟之前的取样一样的
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@@ -1134,7 +1134,7 @@ MSAA解决的对信号的模糊操作，只不过MSAA最后的出来的值也可
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先画远处的面，再画近处的面，一层一层的覆盖
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-需要先对所有的三角形面片进行排序，时间复杂度 $O(n\log _2n) $
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+需要先对所有的三角形面片进行排序，时间复杂度 $O(n\log _2n) $
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@@ -1189,7 +1189,7 @@ shading，引入物体的明暗的不同，颜色的不同，**对不同的物
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同一束光照，当紫色物体旋转时，其单位面积接收到的光变少，导致其变暗
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-任何一个着色点周围单位面积能接受到多少光照，与光线的角度成一定关系，从而引出Lambert's定律：接受到的光照与l和n的余弦(上图中的 $\cos \theta $)成正比
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+任何一个着色点周围单位面积能接受到多少光照，与光线的角度成一定关系，从而引出Lambert's定律：接受到的光照与l和n的余弦(上图中的 $\cos \theta $)成正比
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> 带入现实，一个是太阳能板，被照射面积越大热得越快；一个是四季，夏天是被太阳光直射
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@@ -1197,7 +1197,7 @@ shading，引入物体的明暗的不同，颜色的不同，**对不同的物
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对于一个光源，某一瞬间，其发出的能量是固定的，而伴随着光线的传递，其蕴含的能量也逐渐分散(球壳，而不是圆形)
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-此时定义距离为1是，光线强度为**I**，当距离为r，则光纤强度为 $\frac{I}{r^2} $，通过这个式子可以算出当前传播到着色点的光照强度
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+此时定义距离为1是，光线强度为**I**，当距离为r，则光纤强度为 $\frac{I}{r^2} $，通过这个式子可以算出当前传播到着色点的光照强度
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通过上面两个公式，可以得到着色点(Shading Point)的光照强度、多少光会打在着色点上，得到计算式子
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@@ -1206,9 +1206,9 @@ L_d = k_d(I/r^2)max(0, n \cdot l)
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$$
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- 上面的数学表达式就是**漫反射**的表示方法
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- - $k_d $漫反射的系数，表示这个点吸收多少能量(类似物体吸收所有颜色就是黑色，不吸收所有颜色就是白色的物理规律)
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- - $I/r^2 $ 到达着色点的能量
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- - $max(0, n \cdot l) $ 接收了多少能量
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+ - $k_d $漫反射的系数，表示这个点吸收多少能量(类似物体吸收所有颜色就是黑色，不吸收所有颜色就是白色的物理规律)
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+ - $I/r^2 $ 到达着色点的能量
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+ - $max(0, n \cdot l) $ 接收了多少能量
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> 为什么是 $max(0, n \cdot l) $ ， $n \cdot l $也就是 $\cos \theta $可能为负数，因为光线可能从物体下面往上发射，而这种光不具备物理意义（这里只讨论发射，不讨论折射）
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@@ -1244,21 +1244,21 @@ L_s = k_s(I / r^2)max(0, \cos \alpha)^p
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k_s(I / r^2)max(0, n \cdot h)^p
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$$
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-- 高光的计算公式 $L_s $
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- - $k_s $高光系数，颜色之类的，跟漫反射系数类似
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- - $(I / r^2) $跟漫反射中的一样，高达此处的光的强度
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- - $max(0, \vec{n} \cdot \vec{h})^p $根据观察角度能得到多少光
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+- 高光的计算公式 $L_s $
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+ - $k_s $高光系数，颜色之类的，跟漫反射系数类似
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+ - $(I / r^2) $跟漫反射中的一样，高达此处的光的强度
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+ - $max(0, \vec{n} \cdot \vec{h})^p $根据观察角度能得到多少光
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1. 为啥使用半程向量：半程向量的计算比直接计算光的镜面反射向量简单
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-2. $\cos \alpha $，在 $0~\pi $是单调递减的，复合这里 $\alpha $越小高光越多的情况
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+2. $\cos \alpha $，在 $0~\pi $是单调递减的，复合这里 $\alpha $越小高光越多的情况
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3. 不考虑从 $\cos \alpha $为负数的情况，此时光从下面照射
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-4. $max(0, \vec{n} \cdot \vec{h})^p $中指数p的作用如图下所示，通过参数p可以指定高光范围的大小(p越大，高光范围越小，对应下图p越大，数据变小越快，一般100~200)
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+4. $max(0, \vec{n} \cdot \vec{h})^p $中指数p的作用如图下所示，通过参数p可以指定高光范围的大小(p越大，高光范围越小，对应下图p越大，数据变小越快，一般100~200)
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-从上到下 高光系数 $k_s $ 逐渐变大，可以发现越来越亮；从左到右 指数p 逐渐变大，高光范围逐渐变小
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+从上到下 高光系数 $k_s $ 逐渐变大，可以发现越来越亮；从左到右 指数p 逐渐变大，高光范围逐渐变小
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#### 环境光照
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@@ -1276,8 +1276,8 @@ $$
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L_a = k_aI_a
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$$
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-- 环境光 $L_a $
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- - $K_a $ 环境光照系数
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+- 环境光 $L_a $
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+ - $K_a $ 环境光照系数
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#### 累加
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@@ -1359,7 +1359,7 @@ Shader控制顶点管线(**Vertex Processing**)和着色管线如何运作(**Fra
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-对于漫反射的计算来说 $L_d = k_d (I / r^2) (\vec{n} \cdot \vec{l}) $，上述图片就是球的每个点的 $k_d $ 是不同的
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+对于漫反射的计算来说 $L_d = k_d (I / r^2) (\vec{n} \cdot \vec{l}) $，上述图片就是球的每个点的 $k_d $ 是不同的
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那么纹理映射就是定义任何一个点的不同属性
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@@ -1395,7 +1395,7 @@ Shader控制顶点管线(**Vertex Processing**)和着色管线如何运作(**Fra
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-三角形所在平面上的任一点(x, y)都可以用 $(x, y) = \alpha A + \beta B + \gamma C $ 且 $\alpha + \gamma + \beta = 1 $
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+三角形所在平面上的任一点(x, y)都可以用 $(x, y) = \alpha A + \beta B + \gamma C $ 且 $\alpha + \gamma + \beta = 1 $
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@@ -1514,7 +1514,7 @@ $$
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-以二维平面为例子，计算凹凸贴图影响后的法线方向 $d_p = c * [h(p+1) - h(p)] $
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+以二维平面为例子，计算凹凸贴图影响后的法线方向 $d_p = c * [h(p+1) - h(p)] $
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1. 求斜率，用下一个点的高度减去当前点的高度可以近似求出当前点的斜率
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2. 常数 **c** 用来做权重设置的，表示当前法线贴图的影响程度
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@@ -1630,7 +1630,7 @@ $$
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首先控制点有三个 $b_0, b_1, b_2 $
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-其次 $t $ 表示时间(或者说百分比)，取值范围是0~1
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+其次 $t $ 表示时间(或者说百分比)，取值范围是0~1
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1. 在 $b_0 - b_1 $的线段上，百分比为t的点 $b_0^1 $
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2. 同理在 $b_1 - b_2 $的线段上，找到百分比为t的点 $b_1^1 $
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@@ -1647,11 +1647,11 @@ b_0^2(t) = (1-t)*b_0^1 + t*b_1^1\\
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b_0^2(t) = (1-t)^2*b_0 + 2*t*(1-t)*b_1 + t^2*b_2
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$$
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-上面的计算式子 $b_0,b_1,b_2 $的参数很像是 $[(1-t) + t]^2 = (1-t)^2 + 2*t*(1-t) + t^2 $
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+上面的计算式子 $b_0,b_1,b_2 $的参数很像是 $[(1-t) + t]^2 = (1-t)^2 + 2*t*(1-t) + t^2 $
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同理，三次贝塞尔曲线中 $b_0,b_1,b_2,b_4 $的参数应该就是 $[(1-t) + t]^3 $分解之后的
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-通过上面计算式子和 $b_0,b_1,b_2 $的表现效果，推理得出贝塞尔曲线的可能的式子
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+通过上面计算式子和 $b_0,b_1,b_2 $的表现效果，推理得出贝塞尔曲线的可能的式子
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$$
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b^n(t) = \sum_{j=0}^{n}b_j*B_j^n(t)\\
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@@ -2019,13 +2019,13 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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数学中的光线就是一个射线，有一个起点，有一个方向
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-假设起点坐标为 `o`, 方向向量为 `d`, 得到光线任一点的表达式 $ r(t) = o + t*d $ 其中 t 是 0 到 正无穷、
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+假设起点坐标为 `o`, 方向向量为 `d`, 得到光线任一点的表达式 $ r(t) = o + t*d $ 其中 t 是 0 到 正无穷、
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对于 **隐式表面**
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-假设现在要碰撞的是一个球，设球面上任意点的坐标为p，球心坐标为c，球的半径为R，得到球面的表达式 $(p - c)^2 - R^2 = 0 $
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+假设现在要碰撞的是一个球，设球面上任意点的坐标为p，球心坐标为c，球的半径为R，得到球面的表达式 $(p - c)^2 - R^2 = 0 $
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-那么联立光线和球的表达式可以求出交点 $(o + td - c)^2 - R^2 = 0 $
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+那么联立光线和球的表达式可以求出交点 $(o + td - c)^2 - R^2 = 0 $
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@@ -2034,7 +2034,7 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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可以将 光线 与 球 交点的计算，推广到其他 隐式表面 的计算上
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-假设 隐式表面 的数学公式为 $ f(p) = 0 $, 带入 光线 的公式得到交点 $ f (o + t*d) = 0 $
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+假设 隐式表面 的数学公式为 $ f(p) = 0 $, 带入 光线 的公式得到交点 $ f (o + t*d) = 0 $
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再 带入 上面说明的 t大于 0、 t不能为虚数、 多交点时取t小的点 就可以得到交点坐标
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@@ -2060,9 +2060,9 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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-上图中 $P_0 P_1 P_2 $ 分别是是三角形重心到三个顶点的向量
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+上图中 $P_0 P_1 P_2 $ 分别是是三角形重心到三个顶点的向量
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-通过 $ (1 - b_1 - b_2) * P_0 + b_1 * P_1 + b_2 * P_2 $ 可以表示三角形中任意点的坐标
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+通过 $ (1 - b_1 - b_2) * P_0 + b_1 * P_1 + b_2 * P_2 $ 可以表示三角形中任意点的坐标
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一个物体有很多个三角形，最简单暴力的做法就是交**依次对每个三角形求**，最后得出距离光线起点最近的点 也就是 t 最小的点
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@@ -2086,32 +2086,32 @@ Shadow Mapping可以处理硬阴影的情况：即一个点要么在阴影中，
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> 对应的表示方法可以是AABB表示
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-依旧以 $(o + td - c)^2 - R^2 = 0 $ 为例
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+依旧以 $(o + td - c)^2 - R^2 = 0 $ 为例
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以二维平面为例
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-一般用 $Point_0 = (x_{0}, y_{0}) $ 和 $Point_1 = (x_{1}, y_{1}) $ 就可以表示一个二维平面的包围盒， ${Point_0} $ 表示 矩形 的左下角， ${Point_1} $ 表示矩形的 右上角，通过两点即可表示出一个矩形
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+一般用 $Point_0 = (x_{0}, y_{0}) $ 和 $Point_1 = (x_{1}, y_{1}) $ 就可以表示一个二维平面的包围盒， ${Point_0} $ 表示 矩形 的左下角， ${Point_1} $ 表示矩形的 右上角，通过两点即可表示出一个矩形
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-- 上图中间得到 $t_{y_{min}} $ 和 $t_{y_{max}} $ 两个点，表示光线与包围盒y轴交点是t的值
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-- 上图左边得到 $t_{x_{min}} $ 和 $t_{x_{max}} $ 两个点，表示光线与包围盒x轴交点是t的值
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-- 那么在包围盒中的t值为 $t_{x_{min}} $ 和 $t_{y_{max}} $
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+- 上图中间得到 $t_{y_{min}} $ 和 $t_{y_{max}} $ 两个点，表示光线与包围盒y轴交点是t的值
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+- 上图左边得到 $t_{x_{min}} $ 和 $t_{x_{max}} $ 两个点，表示光线与包围盒x轴交点是t的值
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+- 那么在包围盒中的t值为 $t_{x_{min}} $ 和 $t_{y_{max}} $
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-通过求出 光线 与 x、y 平面相交的的时间，得出 $t_{enter} = min(t_{y_{min}}, t_{x_{min}}) $ 和 $t_{quit} = max(t_{y_{max}}, t_{x_{max}}) $
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+通过求出 光线 与 x、y 平面相交的的时间，得出 $t_{enter} = min(t_{y_{min}}, t_{x_{min}}) $ 和 $t_{quit} = max(t_{y_{max}}, t_{x_{max}}) $
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-> $t_{quit} $ 表示 光线 离开碰撞盒的t值
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-> $t_{enter} $ 表示 光线 进入碰撞和的t值
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+> $t_{quit} $ 表示 光线 离开碰撞盒的t值
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+> $t_{enter} $ 表示 光线 进入碰撞和的t值
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于是将该理论发展到三维空间
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- $Point_0 = (x_{min}, y_{min}, z_{min}) $ 和 $Point_1 = (x_{max}, y_{max}, z_{min}) $ 可以表示一个三维空间的矩形范围
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+ $Point_0 = (x_{min}, y_{min}, z_{min}) $ 和 $Point_1 = (x_{max}, y_{max}, z_{min}) $ 可以表示一个三维空间的矩形范围
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$t_{enter} = min(t_{x_{min}}, t_{y_{min}}, t_{z_{min}}) $
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$t_{quit} = max(t_{x_{max}}, t_{y_{max}}, t_{z_{max}}) $
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-- 如果 ${t_{quit}} $ 小于 0，则表示 光线 与 碰撞体 不相交，因为 光线 离开碰撞盒子的 t 小于0， 则表示 碰撞盒 在光线的反方向
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-- $t_{enter} $ 小于0， ${t_{quit}} 大于0，则表示 光源 在碰撞盒 内部
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-- 如果 $t_{enter} $ 小于 ${t_{quit}}，并且 $t_{quit} $ 大于 0， 则表示 光线 与 碰撞盒 相交
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+- 如果 ${t_{quit}} $ 小于 0，则表示 光线 与 碰撞体 不相交，因为 光线 离开碰撞盒子的 t 小于0， 则表示 碰撞盒 在光线的反方向
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+- $t_{enter} $ 小于0， ${t_{quit}} 大于0，则表示 光源 在碰撞盒 内部
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+- 如果 $t_{enter} $ 小于 ${t_{quit}}，并且 $t_{quit} $ 大于 0， 则表示 光线 与 碰撞盒 相交
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# 动画模拟、仿真
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